判断线性无关的四种方法
线性无关的定义？
线性无关的定义？
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关。
三维直角坐标系中的基底i，j，k（夹角互为90°），假设向量mxi yj zk，m可以等于任意值，也就是该空间的任意向量，即i，j，k可以表示空间的所有向量，这里的i，j，k就是线性无关。
相应的，任意三个向量a，b，c（全不等于0）不共面即可表示出三维空间的所有向量,称a,b,c线性无关；
如果向量a，b，c共面，则不能表示出整个空间，称a，b，c线性相关。
同样的，在二维平面（平面直角坐标系）中情况类似，向量a和b共线，即amb也就是a nb0（m-n∈R）（三维以及n维也可以这样表示出来），这里a和b就是线性相关；否则就是线性无关。
证明线性无关的方法有哪些？
把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和
三个矩阵线性无关的条件？
若三个向量组组成的矩阵的秩向量个数，则线性相关。
若三个向量组组成的矩阵的秩向量个数，则线性无关。
例如：
1、写成矩阵形式，然后通过行变换，化为行最简形，得到矩阵的秩。
2、得出矩阵的秩，用来和向量个数比较。
3、因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数，所以得出。
所以线性相关就是：
怎么判断特征向量线性无关？
组成一个矩阵，求秩，矩阵的秩向量个数时无关，矩阵的秩向量个数时相关
如果向量维数等于向量个数，把这些向量构成一个行列式，如果值非0则线性无关。
如果向量维数大于向量个数，需要取所有的向量维数等于个数的缩短组，计算行列式，如果存在非0则线性无关。
另外还可以施密特正交化，如果在某一步后得到0向量则线性相关。
①行列式是针对方阵的
②行列式0，意味着空间压缩，比如本来三维的，压缩成了二维的平面（本来不在同一维度上的东西压缩到了同一维度），线性相关
②行列式0(不等于0），意味着空间未压缩，维度不变，线性无关
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的