如何证明全微分
三阶微分方程通解的证明？
三阶微分方程通解的证明？
方程udx vdy0如果满足du/dydv/dx则为全微分方程（简便起见偏导我也用导数表示了），其通解为∫udx ∫vdy0。
对原方程两端同时乘以du/dy，注意到du/dydv/dx，原式可化为udv vdu0，注意到d(uv)udv vdu，所以原式可化为d(uv)0，直接积分就可得uvC为原方程的通解，其中C为待定常数，等价于∫udx ∫vdy0。全微分方程之所以被叫做全微分方程，就是因为方程可以化为d(f(x,y))0的形式，也就是说可以化为二元函数f(x,y)的全微分等于0的形式，方程通解就是f(x,y)C。一般情况下解全微分方程没有用公式的，只要你把方程化为d(f(x,y))0的形式，那么通解就是f(x,y)C。
全微分ab是什么？
可微定义中A、B是x、y的函数，且不依赖于⊿x、⊿y。可以证明Afx(x,y)、Bfy(x,y)。
全微分公式存在定理？
如果函数zf(x, y) 在(x, y)处的全增量Δzf(x Δx,y Δy)-f(x,y)可以表示为ΔzAΔx BΔy o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ√[(Δx)2 (Δy)2])，此时称函数zf(x, y)在点（x，y）处 可微分，AΔx BΔy称为函数zf(x, y)在点(x, y)处的 全微分，记为dz即dzAΔx BΔy该表达式称为函数zf(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
三大微分定理？
01罗尔定理
在学习罗尔定理之前，先引进一个极值的定义：设函数f（x）在 X的某邻域U（X,＄）内有定义，若对此邻域内的任何点x，都有f(x)≤f（X）或f（x）≥f（X）则称函数f（x）在X取得极大值或极小值f（X）,且称X是函数的极大值点或极小值点。
罗尔定理：若函数f满足如下条件：
（1）f在闭区间［a,b］上连续，
（2）f在开区间（a,b）内可导，
（3）f（a）＝f（b）
则在（a,b）上至少存在一点＄，使得f′（＄）＝0
例题：例1、设f（x）在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f（1）＝0，证明至少存在一点＆∈（0，1），使f（amp）＋ampf′（amp）＝0.
证：设辅助函数F(x)＝xf（x）,显然
F（x）在［0，1］上满足罗尔定理条件，
故至少存在一点amp∈（0，1），使F′（＆）＝f（＆）＋ampf（amp）＝0
02拉格朗日中值定理
在学习拉格朗日中值定理之前，先承上启下引进个费马引理：设函数f(x)在点X的某个邻域(X－＆,X＋amp)内有定义，并且在X点可导，且f（x）≤（或≥）f(X)，则f′(X)＝0.
拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：
（1）f在闭区间［a,b］上连续，
（2）f在开区间（a,b）内可导，
则在（a b）上至少存在一点amp，使得f′（amp）＝f（b）－f（a）╱b－a.
例题：证明arctanb＋ arctana≤b－a,其中a＜b.
证：设f（x）＝arctanx,则
f（b）－f（a）＝f′（amp）（b－a）＝1／1 amp （b－a）,a＜amp＜b
从而得arctanb － arctana ＝ b－a
03柯西中值定理
现给出一个形式更一般的微分中值定理，柯西中值定理：设函数f和g满足，
（1）在［a，b］上都连续，
（2）在（a，b）上都可导，
（3）f＇（x）和g＇（x丿不同时为零，
（4）g（a）≠g（b）
则存在amp∈（a，b），使得f＇（amp）／g＇（amp）＝f（b）－f（a）／g（b）一g（a）.