泰勒公式是x趋于0才能用吗
求sin（sinx）在x＝0处带拉格朗日余项的泰勒展开式？
求sin（sinx）在x＝0处带拉格朗日余项的泰勒展开式？
可以考虑x/sinx求4阶导数,令x趋于0可求出系数现在用级数的除法：显然f(x)x/sinx为偶函数,故泰勒公式中只有偶次幂设f(x)x/sinx(a0 a2x^2 a4x^4 o(x^5)
)那么x(a0 a2x^2 a4x^4 o(x^5))(x-x^3/6 x^5/5! o(x^6))a0x (a2-a0/6)x^3 (a4-a2/6 a0/5!)x^5 o(x^6)解得：a01,a21/6,a41/32-1/361/288所以：f(x)x/sinx1 x^2/6 x^4/288 o(x^5))
什么时候用泰勒公式求极限？
我认为有2：1是x趋于0；
2是用洛必达法则求导感觉很复杂的时候用泰勒公式较方便，因为泰勒公式是多项式运算和无穷小运算
x趋于3可以用等价公式吗？
对，高阶是可以的，这里关键在于当x趋于零时，要保证麦克劳林余项和分母的比值是趋于零的。分母是x的三次方，因此余项必须是x的三阶小量（当然更高阶的小量更没问题），所以至少要展开到三阶
为啥不能分别替换等价无穷小？
代数和或差的各个部分无穷小不能分别做替换。
一.等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换），变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。
二.数学分析的基础概念指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
三.用等价无穷小替换原则是：整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换，而加减时一般不能用等价无穷小替换。这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式，一般取了前面的1到3项。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数。用得较多的是泰勒公式在x＝0处的展开式。