抽象矩阵特征值和特征向量的求法
抽象矩阵特征值的求法有哪些？
抽象矩阵特征值的求法有哪些？
矩阵特征值的求法是写出特征方程lλE-Al0左边解出含有λ的特征多项式比如说是含有λ的2次多项式，我们学过，是可能没有实数解的，(Δ0)这个时候我们说这个矩阵没有【实特征值】但是如果考虑比如Δ0时有虚数的解，，也就是有虚数的特征值的这样说来就必有特征值。
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Axmx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
首先求出方程|λE-A|0的解，这些解就是A的特征值，再将其分别代入方程（λE-A）X0中，求得它们所对应的基础解系,则对于某一个λ，以它所对应的基础解系为基形成的线性空间中的任意一个向量，均为λ所对应的特征向量。
若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量。
矩阵的正交化特征向量怎么求？
1、特征向量的定义：几乎所有的向量在乘以矩阵A后都会改变方向，某些特殊的向量x和A位于同一个方向，它们称之为特征向量。
2、对于特征值1,r(A-E) 1。所以属于特征值1的线性无关的特征向量有 n-r(A) 3-1 2 个。
写出对应的方程
x1-x2-x3 0
(1,1,0)^T 是解
与它正交的解应该是 (1,-1,x)^T,代入方程得 1 1-x 0 得 x 2
这就得到了正交的基础解系,避免了正交化过程
求出矩阵特征值之后，判断矩阵能否相似对角化，该怎么根据特征值判断？
1、判断方阵是否可相似对角化的条件：
(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r（λE-A）k(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。2、求方阵的特征值：
(1)具体矩阵的特征值：这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算(2)抽象矩阵的特征值：抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。